Materi SUKU BANYAK
SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )
a. Pengertian sukubanyak:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x + a0 adalah suku banyak dalam x berderajat n, dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0 . Bilangan ak dinamakan koefesien suku yang memuat xk.
Contoh :
7x5 – 3x4 +2x3 – 5x + 6 adalah suku banyak berderajat 5 ( dengan cara melihat pangkat tertinggi dari persamaan tersebut ) koefesien x5 adalah 7, koefesien x4adalah – 3.
b. Nilai Suku banyak
1. Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f (k)
a. Cara substitusi
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut ini : f(x) = 2x5 + x4 – 3x2 + 1 untuk x = 2
Jawab :
Untuk x = 2 , nilai suku banyak adalah f (2)
f(x) = 2x5 + x4 – 3x2 + 1
f(x) = 2.25 + 24 – 3.22 + 1
f(x) = 64 + 16 – 12 + 1 = 69
b. Cara Skemetik (koefesien ditulis secara berurutan dari derajat tertinggi )
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut : f(x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 + x – 6 untuk x = 2
2
|
3
|
-2
|
5
|
1
|
-6
| |
6
|
8
|
26
|
54
|
+
| ||
3
|
4
|
13
|
27
|
48
|
Jadi nilai suku banyak untuk x = 2 adalah 48
2. Operasi pada suku banyak
Contoh :
f (x) = 3x3 – 2x2 + x – 6 g (x) = x3 + x2 – 3x + 5
a. penjumlahan
f(x) + g(x) = (3x3 – 2x2 + x – 6) + (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 + x3 + x2 – 3x + 5
= 4x3 – x2 – 2x - 1
b. pengurangan
f(x) - g(x) = (3x3 – 2x2 + x – 6) - (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 x3 - x2 + 3x - 5
= 2x3 – 3x2 – 4x - 11
c. perkalian
f(x) + g(x) = (3x3 – 2x2 + x – 6) . (x3 + x2 – 3x + 5)
= 3x6 + x5 - 10x4 + 16x3 – 19x2 + 23x – 30
c. Pembagian sukubanyak:
1. Pembagian suku banyak dengan (x – k)
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x –k), maka hasil baginya H(x) dan sisanya S, sehingga f(x) = (x-k) H(x) + S
Contoh :
Tentukan hasil bagi dan sisanya ; (3x4 – 2x3 + x2 + 5x – 2) : ( x – 2)
Pembagian dapat dikerjakan dengan 2 cara :
a. Cara bersusun
3x3
|
+
|
4x2
|
+
|
9x
|
+
|
23
| |||||||||||||
x - 2
|
3x4
|
-
|
2x3
|
+
|
x2
|
+
|
5x
|
-
|
2
| ||||||||||
3x4
|
-
|
6x3
|
-
| ||||||||||||||||
4x3
|
+
|
x2
| |||||||||||||||||
4x3
|
-
|
8x2
|
-
| ||||||||||||||||
9x2
|
+
|
5x
| |||||||||||||||||
9x2
|
-
|
18x
|
-
| ||||||||||||||||
23x
|
-
|
2
| |||||||||||||||||
23
|
-
|
46
|
-
| ||||||||||||||||
44
|
Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44
b. Cara skematik atau sintetik atau horner
2
|
3
|
-2
|
1
|
5
|
-2
| |||
6
|
8
|
18
|
46
| |||||
3
|
4
|
9
|
23
|
44
|
⇾ Sisa
|
Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44
2. Pembagian suku banyak dengan (ax + b)
Pembagian suku banyak dengan (ax + B) , maka hasilnya H(x)/a dan sisanya S, sehingga f(x) = (x + b/a) H(x) + S atau (ax + b) H(x)/a + S
Contoh :
Tentukan nilai bagi dan sisanya : (2x3 – 3x2 + 5x + 3) ; (2x – 1)
Jawab ;
½
|
2
|
-3
|
5
|
3
| |||||
1
|
-1
|
2
| |||||||
2
|
-2
|
4
|
5
|
⇾
|
Sisa
|
Jadi , hasil bagi = (2x2 – 2x + 4) /2 = x2 – x + 2
Sisa = 5
3. Pembagian suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c dengan a≠0 , hasil baginya H(x) dan sisanya px + q , maka f(x) = (ax2+bx+c).H(x) + px + q
a. pembagian dapat difaktorkan
Contoh :
Tentukan sisa pembagian (3x4 + x2 – 5x + 7) : (x2 – 3x + 2)
Cara I :
3x4 + x2 – 5x + 7 = ( x2 – 3x + 2 ) H(x) + ( px + q )
= ( x - 1 ) ( x – 2 ) H(x) + ( px + q )
x = 1 ⇾ 3 + 1 – 5 + 7 = p + q
p + q = 6 ....... (i)
x = 2 ⇾ 48 + 4 – 10 + 7 = 2p + q
2p + q = 49 ......(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh : 2p + q = 49
p + q = 6 –
p = 43
untuk p = 43 , maka q = - 37 ⇾ jadi sisanya = 43x – 37
Cara II :
Pembagian = (x2 – 3x + 2) = (x – 1)(x – 2) = P1,P2
1
|
3
|
0
|
1
|
-5
|
7
| ||
3
|
3
|
4
|
-1
|
+
| |||
3
|
3
|
4
|
-1
|
6
|
⇾
|
S1
| |
2
|
6
|
1
|
44
|
+
| |||
3
|
9
|
22
|
43
|
⇾
|
S2
|
Sisa p = P1.S2 + S1 = (x-1).43 + 6 = 43x – 37
b. pembagian tidak dapat difaktorkan
tentukan sisa pembagian : (3x3 +4x – 8) : (3x2 +x +2)
Jawab :
Diselesaikan dengan cara identik : f(x) = pembagi x hasil bagi + sisa
Karena pembagi berderajat 2, maka sisa berderajat 1 dan misalkan dengan (px +q)
(3x3 + 4x – 8) = (3x2 + x + 2) H(x) + (px + q)
= (3x2 + x + 2)(x + b) + (px + q)
= 3x3 + 3b2x2 + x2 + bx + 2x + 2b + px + q
= 3x3 + (3b + 1)x2 + (b + 2 + p)x + (2b + q)
Koefesien x2 = 0 ⇾ 3b + 1 = 0 ⇾ b = - 1/3
Koefesien x = 4 ⇾ b + 2 + p = 4 ⇾ p = 7/3
Koefesien x0 = -8 ⇾ 2b + q = -8 ⇾ q = - 22/3
Jadi sisa = px + q = 7x/3 – 22/3
1. Teorema Sisa
a. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh ax + b
Jika f(x) dibagi ax + b bersisa S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:
f(x) = (ax + b)H(x) + S
Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · H(x) + S
f ( -b/a ) = S
Ini berarti bahwa sisa pembagian sukubanyak f(x) oleh ax + b adalah S = f ( -b/a ) .
b. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d)
Jika f(x) dibagi (ax + b)(cx + d) bersisa S(x) = px + q, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:
f(x) = (ax + b)(cx + d)H(x) + S(x)
Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · (cx + d) · H(x) + (px + q)
f ( -b/a ) = px + q .............. (1)
Dengan mengambil x = – c/d , maka kita peroleh:
f ( -c/d ) = (ax + b) · 0 · H(x) + (px + q)
f ( -c/d ) = px + q............... (2)
Ini berarti bahwa sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d) adalah
S(x) = px + q, dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari persamaan (1) dan (2).
2. Teorema faktor
(x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
2.1 Teorema Faktor untuk Mencari Akar
Jika terdapat sukubanyak f(x) dan f(k) = 0, maka k merupakan akar dari f(x). Sebaliknya, jika k merupakan akar akar dari f(x), maka f(k) = 0.
2.2 Persamaan Sukubanyak
a. Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 = - b/a
2) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =c/a
3) x1 · x2 · x3 = - d/a
b. Jika x1, x2, x3, dan x4 akar-akar persamaan ax4 + bx4 + cx2 + dx + e = 0, maka:
1) x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a
2) x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3 + x2 · x4 + x3 · x4 = c/a
3) x1 · x2 · x3 + x1 · x2 · x4 + x1 · x3 · x4 + x2 · x3 · x4 = - d/a
4) x1 · x2 · x3 · x4 = e/a
Semoga hasilnya bisa bermanfaat bagi setiap orang yang membacanya ya ,amien